First meeting of the project De rerum natura

I will describe our solution to the problem of counting lattice walks by winding angle around the origin on four different lattices including the square lattice and the triangular lattice. The method uses a new decomposition of each lattice, which allows us to write functional equations characterising generating functions of these walks. We then solve these equations in terms of Jacobi theta functions, allowing us to extract information about the (differential) algebraicity and asymptotics of these generating functions. For each of the four lattices, we then use the reflection principle to count walks confined to cones such as the quarter plane and three quarter plane. On the square lattice, most of our results were derived by Timothy Budd in 2017 using a very different method, based on an explicit eigenvalue decomposition of certain matrices counting paths in the lattice.

Les E-fonctions ont été introduites par Siegel en 1929 : il s'agit d'une classe de fonctions qui englobe notamment la fonction exponentielle et les fonctions de Bessel. Étant donné une famille finie de E-fonctions algébriquement indépendantes, on considère l'ensemble $S$ des points algébriques en lesquels leurs valeurs sont algébriquement dépendantes. Le théorème de Siegel-Shidlovskii (démontré en 1955 et raffiné depuis par plusieurs auteurs) permet de montrer que $S$ est fini. Le but de cet exposé est de donner un algorithme permettant de déterminer cet ensemble $S$. Il s'agit d'un travail en commun avec Tanguy Rivoal.

Grâce aux algorithmes d'intégration symbolique et de prolongement analytique numérique, on peut calculer les périodes à très grande précision. Je montrerai comment utiliser ces outils pour calculer le volume d'un ensemble semialgébrique (selon un travail commun avec Marc Mezzarobba et Mohab Safey El Din). Je montrerai aussi comment la grande précision trouve des applications au calcul de certains invariants de surfaces algébriques (selon un travail commun avec Emre Sertöz). Enfin, je montrerais quelques idées pour obtenir des bornes de séparations effectives entre les périodes et ainsi garantir le résultat de calculs numériques.