Philippe.Dumas@inria.fr


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Maple V.4 worksheet Maple V.4 worksheet

Vérifions tout d'abord la formule de Machin.

> alpha:=16*arctan(1/5)-4*arctan(1/239);

> expand(cos(alpha));

> expand(sin(alpha));

Le nombre alpha vaut Pi à 2 Pi près. Une évaluation numérique suffit pour conclure.

> evalf(alpha);

Pour obtenir des approximations rationnelles de Pi, nous tronquons le développement de la fonction arc tangente et nous substituons les valeurs 1/5 et 1/239. Le nombre 1/5 étant le plus grand des deux, c'est le développement de arctan(1/5) qui dicte la précision obtenue. Nous évaluons donc le nombre de chiffres décimaux utiles en regardant l'ordre de grandeur du premier terme négligé dans le développement. Bien sûr, ceci est incorrect ; c'est le reste de la série qu'il faut contrôler.

> K:=10:

> for k from 0 to K do 

    S:=series(arctan(x),x,2*k+1);

    P:=convert(S,polynom);

    approx[2*k+1,rat]:=16*subs(x=1/5,P)-4*subs(x=1/239,P);

    l:=floor(log[10](5^(2*k+3)));

    approx[2*k+1,float]:=evalf(approx[2*k+1,rat],l)

  od:

> for k from 0 to K do

    [2*k+1,approx[2*k+1,rat],approx[2*k+1,float]]

  od;

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