Calcul formel : Mode d'emploi - Exemples en Maple
Claude Gomez, Bruno Salvy, Paul Zimmermann
Masson, 1995
Chapitre III, section 1.4, exercice 1, page 85.
Philippe.Dumas@inria.fr
http://algo.inria.fr/dumas/Maple/
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Nous définissons le polynôme par son expression.
> f:=x^5+3*x^4+x^2+8*x+3;
Pour chercher graphiquement les racines réelles du
polynôme, nous commençons par déterminer un
intervalle qui les contient. Pour cela nous employons
l'inégalité
valable pour tout réel x. Si
désigne la valeur absolue d'une racine x, alors ce
nombre satisfait
ou rho>=1 et
et donc
.
Ceci fournit une borne sur la taille des racines. Cette
borne est d'ailleurs aussi valable pour les racines complexes. Muni de
cette borne, nous pouvions étudier graphiquement la question.
> plot(f,x=-15..15);
> plot(f,x=-8..5);
> plot(f,x=-4..2);
Nous pourrions continuer à procéder par raffinements successifs. Cela revient grosso modo à l'application de la méthode de dichotomie. La procédure fsolve nous permet de calculer numériquement les racines réelles ou complexes.
> fsolve(f,x=-3..0);
> fsolve(f,x,complex);
Les racines réelles sont négatives puisque les coefficients du polynôme sont positifs.