Philippe.Dumas@inria.fr


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Maple V.4 worksheet Maple V.5 worksheet

La factorielle de est le produit des entiers de à . Dire que son écriture décimale comporte zéros en queue, c'est dire que la plus grande puissance de qui divise est . Comme est le produit des deux nombres premiers et le nombre que nous cherchons est donné par la formule

.

Dans cette formule est la valuation dyadique de l'entier , c'est-à-dire le plus grande puissance de qui divise . De même est la plus grande puissance de qui divise . Si est un nombre premier, nous devons donc calculer . Pour cela nous remarquons que les multiples de plus petits que sont en nombre égal à la partie entière de . Chacun d'eux apporte une unité dans le décompte qui va donner . Cependant les multiples de apportent chacun une unité supplémentaire et ils sont en nombre égal à la partie entière de . Continuant ainsi nous voyons que le nombre cherché est donné par la formule

.

La somme est finie car les termes sont nuls dès que surpasse . Il ne reste plus qu'à appliquer le raisonnement que nous avons suivi pour obtenir la procédure demandée.

> tailsize:=proc(n::posint)

    local p,q,v;

    for p in {2,5} do

      v.p.n:=0;

      q:=p;

      while n>=q do

        v.p.n:=v.p.n+iquo(n,q);

        q:=p*q

      od;

    od;

    min(v.2.n,v.5.n)

  end: 

Testons la sur des exemples simples.

> factorial(10);

> tailsize(10);

> factorial(100);

> tailsize(100);

> N:=factorial(100):

  for i from 0 while irem(N,10,'N')=0 do od;

  i;

Le calcul des intervient dans la méthode de Tchébycheff, qui est une approche élémentaire du théorème des nombres premiers [Blanchard69].

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