Philippe.Dumas@inria.fr


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Maple V.4 worksheet Maple V.5 worksheet

Appelons en à int.

> int(ln(1+tan(x)),x=0..Pi/4);

Le résultat renvoyé suppose quelques connaissances mathématiques. Il va nous permettre de deviner la valeur de l'intégrale.

> A:=evalc(%);

> evalf(A);

> evalf(1/4*Pi*ln(2));

> evalf(remove(has,A,Pi));

Clairement l'intégrale vaut .

Pour prouver ce résultat, nous procédons comme autrefois. Le système ne fournit donc qu'une petite aide au calcul. L'astuce est de jouer sur une symétrie par rapport au centre de l'intervalle.

> J1:=Int(ln(1+tan(x)),x=0..Pi/4);

> J2:=student[changevar](y=Pi/4-x,J1,y);

> J3:=subs(y=x,J2);

Pour développer la cotangente, nous pouvons au choix mettre les mains dans le cambouis ou employer appplyop, ce qui revient en fait à la même chose.

> J4:=subsop([1,1,2]=expand(op([1,1,2],J3)),J3);

> J5:=applyop(expand,[1,1,2],J3);

> J6:=normal(convert(J5,tan));

> J7:=applyop(expand,1,J6);

Le petit miracle est que nous voyons réapparaître l'intégrale d'où nous sommes partis. Nous déduisons de ceci l'égalité cherchée .

De cette formule nous tirons d'autres formules par changement de variables ou intégration par parties.

> K:=student[changevar](tan(x)=t,J);

Nous avons ainsi l'égalité . Cette égalité est amusante parce qu'un instant nous pourrions croire que l'intégrale du produit est le produit des intégrales.

> int(ln(1+t),t=0..1);

> int(1/(1+t^2),t=0..1);

> L:=student[intparts](K,ln(1+t));

Le dernier calcul donne la formule .

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