Philippe.Dumas@inria.fr


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Maple V.4 worksheet Maple V.5 worksheet

À dire vrai l'existence ne pose guère de problème et le système de calcul formel n'est utile que si l'on veut expliciter la solution.

Comme indiqué dans l'énoncé, le bon concept est celui de produit scalaire sur l'espace des polynômes à coefficients réels. On vérifie sans peine que celui qui est fourni est bien un produit scalaire. Ceci étant, le problème revient à minimiser le carré de la distance du ploynôme x^3 au sous-espace des polynômes de degré au plus 2. Il y a bien sûr exactement une solution qui est la projection orthogonale de x^3 sur ce sous-espace. Nous avons donc répondu à la question. Cependant on pourrait vouloir connaître la projection et la valeur du minimum. On peut procéder comme suit, en remarquant que l'on a simplement affaire à un polynôme du second degré qui atteint son minimum en son unique point critique.

> f:=int((x^3+a*x^2+b*x+c)^2*exp(-2*x),x=0..infinity);

> var:={a,b,c}:

  for i in var do

    difff.i:=diff(f,i)

  od:

> sys:={seq(difff.i,i=var)};

> s:=solve(sys,var);

> subs(s,f);

En procédant ainsi, on perd le point de vue hermitien. On pourrait aussi calculer une base orthogonale du sous-espace par le procédé de Schmidt appliqué à la base canonique et employer la formule de Fourier pour obtenir la projection [DuGo97, exercice 3.2, page 178].

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