Philippe.Dumas@inria.fr


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Maple V.4 worksheet Maple V.5 worksheet

Si est un entier, alors est un polynôme. Par contre si est une indéterminée, alors n'est pas un polynôme. C'est pourquoi la séquence d'instructions suivante provoque une erreur.

> A:=x^n:

  B:=x^2-2*cos(phi)*x+1:

> rem(A,B,x);

Error, (in quo) arguments must be polynomial in, x

Il reste la possibilité de tester les cas où est un petit entier. Il est intuitivement évident que le reste est un polynôme trigonométrique; on peut chercher sa forme linéarisée ou, disons, polynomiale; la première a l'avantage de donner l'unicité de l'écriture.

> for n to 5 do 

    collect(rem(A,B,x),x,readlib(`combine/trig`))

  od;

> for n to 5 do 

    collect(rem(A,B,x),x,expand)

  od;

> n:='n':

Ces calculs ne fournissent pas un résultat lumineux. Cependant nous ne disposons pas seulement d'un système de calcul formel. Nous avons aussi un cerveau, organe autrement plus puissant que tous les logiciels. Employons le.

La division euclidienne s'écrit et le reste est de degré au plus 1, ce qui signifie qu'il s'écrit . De plus le dividende et le diviseur sont à coefficients réels. Il en est donc de même pour le reste. De plus les racines du diviseur sont connues: ce sont et . Une simple substitution dans l'égalité fournie par la division donne et par séparation des parties réelles et imaginaires un système facile à résoudre.

> solve({cos(n*phi)=a*cos(phi)+b,sin(n*phi)=a*sin(phi)},{a,b});

> map(combine,%,trig);

Le polynôme de Tchebychev de seconde espèce d'indice est défini par la formule . Nous avons donc obtenu et pour . Nous pouvons vérifier que ce résultat est plausible : les polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont définis dans le package orthopoly.

> for n from 0 to 4 do

    orthopoly[U](n,cos(phi))

  od; 

Nous retrouvons bien pour les basses valeurs de les mêmes coefficients.

Nous avons implicitement évacué le cas particulier où vaut 1 ou -1. En effet le calcul formel fournit des résultats génériques puisqu'on y emploie des indéterminées. Pour ce qui est du cas particulier, la formule du binôme, appliquée à avec égal à 1 ou -1, donne le résultat.

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