Calcul formel : Mode d'emploi - Exemples en Maple
Claude Gomez, Bruno Salvy, Paul Zimmermann
Masson, 1995
Chapitre VI, section 1.4, exercice 1, page 155.
Philippe.Dumas@inria.fr
http://algo.inria.fr/dumas/Maple/
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Si
est un entier, alors
est un polynôme. Par contre si
est une indéterminée, alors
n'est pas un
polynôme. C'est pourquoi la séquence d'instructions
suivante provoque une erreur.
> A:=x^n:
B:=x^2-2*cos(phi)*x+1:
> rem(A,B,x);
Error, (in quo) arguments must be polynomial in, x
Il reste la possibilité de tester les cas où
est un petit entier. Il est intuitivement évident que le reste
est un polynôme trigonométrique; on peut chercher sa
forme linéarisée ou, disons, polynomiale; la
première a l'avantage de donner l'unicité de
l'écriture.
> for n to 5 do
collect(rem(A,B,x),x,readlib(`combine/trig`))
od;
> for n to 5 do
collect(rem(A,B,x),x,expand)
od;
> n:='n':
Ces calculs ne fournissent pas un résultat lumineux. Cependant nous ne disposons pas seulement d'un système de calcul formel. Nous avons aussi un cerveau, organe autrement plus puissant que tous les logiciels. Employons le.
La division euclidienne s'écrit
et le reste est de degré au plus 1, ce qui signifie qu'il
s'écrit
.
De plus le dividende et le diviseur sont à coefficients
réels. Il en est donc de même pour le reste. De plus les
racines du diviseur sont connues: ce sont
et
.
Une simple substitution dans l'égalité
fournie par la division donne
et par séparation des parties réelles et imaginaires un
système facile à résoudre.
> solve({cos(n*phi)=a*cos(phi)+b,sin(n*phi)=a*sin(phi)},{a,b});
> map(combine,%,trig);
Le polynôme de Tchebychev de seconde espèce d'indice
est défini par la formule
.
Nous avons donc obtenu
et
pour
.
Nous pouvons vérifier que ce résultat est plausible :
les polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont
définis dans le package orthopoly.
> for n from 0 to 4 do
orthopoly[U](n,cos(phi))
od;
Nous retrouvons bien pour les basses valeurs de
les mêmes coefficients.
Nous avons implicitement évacué le cas particulier où
vaut 1 ou -1. En effet le calcul formel fournit des résultats
génériques puisqu'on y emploie des
indéterminées. Pour ce qui est du cas particulier, la
formule du binôme, appliquée à
avec
égal à 1 ou -1, donne le résultat.