Philippe.Dumas@inria.fr


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Maple V.3 worksheet Maple V.4 worksheet Maple V.5 worksheet

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1. Pour traiter la première question, on peut démarrer comme suit.

> sum(1/n*cos(n*theta)*cos(theta)^n,n=1..infinity);

On n'a guère avancé. Il faut aider un peu le logiciel en écrivant que le cosinus est une partie réelle d'exponentielle.

> sum(1/n*exp(I*n*theta)*cos(theta)^n,n=1..infinity);

En Maple V.3, il faut être encore plus directif.

> sum(1/n*cos(n*theta)*cos(theta)^n,n=1..infinity);

> sum(1/n*exp(I*n*theta)*cos(theta)^n,n=1..infinity);

> sum(1/n*(exp(I*theta)*cos(theta))^n,n=1..infinity);

Revenons en Maple V.5.

> evalc(Re(%));

> combine(%,trig);

> -map(expand,-%);

> simplify(%,radical,symbolic);

On a bien le résultat annoncé, mais on ne peut pas dire qu'on ait la sensation d'une preuve nette. Cela tient au fait qu'on ne cherche pas à calculer formellement mais à interpréter le résultat avec une variable réelle. En particulier on aimerait voir apparaître une valeur absolue dans le logarithme, mais cela est dû à une mauvaise compréhension de la nature du calcul formel.

2. Passons à la question suivante.

> sum(1/sum(k^2,k=1..n),n=1..infinity);

Tout va si vite qu'on a peine le temps de suivre. On peut finasser un peu, comme suit. Ceci dit la sommation des fractions rationnelles est un domaine suffisamment bien au point pour que la réponse n'amène aucun doute.

> sum(k^2,k=1..n);

> factor(%);

> convert(1/%,parfrac,n);

On peut ensuite bâtir une preuve sur le fait que 1/(k+1) est l'intégrale de t^k pour t allant de 0 à 1.

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