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Maple V.3 worksheet Maple V.4 worksheet Maple V.5 worksheet

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1. Maple V.3 échoue sur le premier produit, mais est capable de calculer le produit indéfini. Nous employons l'adjectif indéfini comme dans la locution intégrale indéfinie, au sens de primitive.

> product((n^3-1)/(n^3+1),n=2..infinity);

> P:=product((n^3-1)/(n^3+1),n);

Il suffit de calculer le quotient des valeurs aux deux bornes et de simplifier pour parvenir à un résultat qui n'est pas totalement satisfaisant. En effet on voit bien des quotients GAMMA(z)/GAMMA(1+z)=1/z, mais simplify/GAMMA n'est pas assez puissant pour s'en dépétrer.

> limit(P,n=infinity)/subs(n=2,P);

> simplify(",GAMMA);

À partir de V.4, on obtient directement le résultat. On constate aussi que simplify/GAMMA est devenu plus efficace.

> product((n^3-1)/(n^3+1),n=2..infinity);

> P:=product((n^3-1)/(n^3+1),n);

> limit(P,n=infinity)/subs(n=2,P);

> simplify(%,GAMMA);

> evalc(%);

2. Pour le deuxième produit, l'approche numérique n'est pas efficace.

> product(1+(1/2)^(2^n),n=0..infinity);

product:   "Cannot show that 1+(1/2)^(2^n) has ICI

                               no zeros on [0,infinity]"

Une approche formelle est meilleure.

> mul(1+x^(2^n),n=0..6);

> series(%,x,2^7+1);

On a formellement product(1+x^(2^k),k=0..infinity)=sum(x^n,n=0..infinity)=1/(1-x) et cette égalité entre séries formelles est aussi valable pour les complexes x de module strictement plus petit que 1. Ici on prend x=1/2 et la valeur du produit est donc 2. Bien sûr la formule est due à Euler.

3. Le troisième produit se traite comme le premier. La dernière phase de calcul laisse cependant apparaître la fonction gamma.

> p:=product(1+(2*n+1)/(2*n-1)/(n+1)^2,n=2..infinity);

> p:=simplify(p,GAMMA);

Le système connaît certaines identités satisfaites par la fonction gamma, comme la formule des compléments

> simplify(GAMMA(z)*GAMMA(1-z),GAMMA);

et la formule de duplication

> simplify(GAMMA(z)*GAMMA(z+1/2),GAMMA);

Ici on emploie les nombres Z et 3/2-Z.

> Z:=3/4-1/4*I*sqrt(7);

  1-Z;

  1-Z+1/2;

On peut donc espérer quelques simplifications.

> simplify(1/GAMMA(z)/GAMMA(1-z+1/2),GAMMA);

> 4/7*sqrt(Pi)/GAMMA(z)*GAMMA(1-z)

             *simplify(1/GAMMA(1-z)/GAMMA(1-z+1/2),GAMMA);

> 2/7*GAMMA(1-z)*2^(2-2*z)*GAMMA(2*z)/GAMMA(z)

        *subs(zz=2*z,simplify(GAMMA(zz)/GAMMA(2-zz),GAMMA));

> simplify(%,GAMMA);

Il ne semble pas cependant que l'on puissse se débarasser de la fonction gamma dans le résultat.

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