Philippe.Dumas@inria.fr


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Maple V.4 worksheet Maple V.5 worksheet

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1. Pour la première série, nous étudions le comportement asymptotique du terme général.

> asympt(ln(cos(x/2^n)),n);

Error, (in asympt) unable to compute series

Maple fournit des développements asymptotiques suivant les puissances de la variable. Ici on attend un développement suivant les puissances de 2^n. Il convient donc d'utiliser une variable auxilaire u=2^n.

> asympt(ln(cos(x/u)),u);

> map(combine,subs(u=2^n,%),power);

Le terme général est dominé par une suite géométrique de raison 1/4, donc la série est convergente. C'est d'ailleurs un exercice classique que de calculer la valeur du produit product(cos(x/2^n),n=0..infinity). Il suffit de multiplier le produit partiel d'indice n par sin(x/2^n) pour l'obtenir.

2. La question suivante n'a pas sa place ici. C'est une pure question mathématique. Si x est congru à 0 modul 2*Pi, il y a divergence (on a affaire à une série de Bertrand). Sinon on emploie la transformation d'Abel pour prouver la convergence (ou on emploie directement la règle d'Abel). À la rigueur, on pourrait employer le logiciel pour effectuer la sommation par parties, par curiosité.

3. Passons à la dernière question. Si k est entier la fonction cos(ln(x)) est décroissante entre exp(2k Pi) et exp(2k Pi+Pi/2). Cette monotonie permet une comparaison entre somme et intégrale. Évidemment les deux nombres exp(2k Pi) et exp(2k Pi+Pi/2) ne sont pas entiers, mais nous utilisons le premier entier qui suit exp(2k Pi) et le dernier entier qui précède exp(2k Pi+Pi/2). Comme le terme général de la série tend vers 0, ceci introduit une petite erreur qui est o(1) quand k tend vers l'infini. Nous encadrons la somme entre les deux entiers par deux intégrales. À nouveau les bornes des intégrales diffèrent un peu de exp(2k Pi) et exp(2k Pi+Pi/2), mais c'est au plus de 2 et l'erreur qui en résulte est o(1). Il suffit donc d'utiliser comme bornes exp(2k Pi) et exp(2k Pi+Pi/2).

> int(cos(ln(x))/x,x=K..K*exp(Pi/2));

> simplify(subs(K=exp(2*k*Pi),%),ln,symbolic);

Comme k est entier, ceci vaut 1 et nous avons donc montré la formule sum(cos(ln(n))/n,n=ceil(exp(2k Pi))..floor(exp(2k Pi+Pi/2)))=1+o(1). Le critère de Cauchy n'est donc pas satisfait et la série diverge. Ici encore l'emploi du logiciel ne s'impose pas. Un bon fauteuil est plus propice à la réflexion et donc plus utile.

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