Philippe.Dumas@inria.fr


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Maple V.3 worksheet Maple V.4 worksheet Maple V.5 worksheet

Calcul | Justification | Série de Lambert

Calcul. On peut appliquer brutalement la méthode de la page 209.

> s:=simplify(subs(u=x^n,series(n*u/(1-u),u)),power);

> map(sum,s,n=0..infinity);

En Maple V.3, le fait de démarrer la somme au rang n=0 pose problème. Il suffit bien sûr de démarrer au rang n=1.

> sum(limit(x^n/(x^n-1)^2*(x-1)^2,x=1),n=1..infinity)/(x-1)^2;

On voit apparaître dzêta(2) et l'équivalent cherché.

Le fait d'intervertir les deux signes de sommation est correct. En effet pour |x|<1 la suite double des n*x^(m*n) est sommable. Pour le voir on peut supposer x strictement positif. La somme sur un carré [1,N]^2 se majore en deux temps. On a d'abord la somme des n*x^(m*n) pour n allant de 1 à N qui se majore par x^m/(1-x^m)^2, lui-même majoré par x^m/(1-x)^2. La somme sur le carré est donc majorée par x/(1-x)^3. Les sommes partielles étant majorées, la famille est sommable.

Justification. Il reste à justifier le passage à la limite. Maintenant que nous connaissons le résultat la preuve est plus facile. Nous considérons la famille des (1-x)^2*n*x^(m*n). La minoration, valable pour 0<x<1, 1+x+x^2+...+x^(n-1) > 1+(n-1)*x = n+(1-x) donne (1-x)^2*x^n/(1-x^n)^2 < x^(n-1)/n^2*1/(1+(1-x)/n/x)^2 . De plus la majoration, valable pour u>0, 1/(1+u) > 1-u+u^2 fournit (1-x)^2*x^n/(1-x^n)^2 < x^(n-1)/n^2*[1-(1-x)/n/x+(1-x)^2/n^2/x^2]^2. Cette dernière expression se somme pour 0<x<1 mais aussi pour x=1.

> expr:=expand(x^n*

        collect(expand(x^(-1)/n^2*(1-(1-x)/n/x+(1-x)^2/n^2/x^2)^2),

                normal));

> map(sum,expr,n=1..infinity);

> subs(x=1,%);

Cette dernière expression n'est rien d'autre que la somme des inverses des carrés d'entiers, c'est-à-dire dzêta(2) ou Pi^2/6. Pour le voir il suffit de revenir à la définition de la série hypergéométrique. En tout cas, nous avons trouvé une famille majorante sommable et ceci permet d'appliquer le théorème de convergence dominée, ce qui justifie le passage à la limite employé plus haut.

Série de Lambert. Puisque la famille est sommable, on peut la sommer par paquets comme l'on veut. Si nous sommons sur les couples (m,n) dont le produit p est donné nous voyons apparaître le terme sigma(p) x^p, où sigma(p) désigne la somme des diviseurs de l'entier p. La somme de la série proposée a donc une interprétation arithmétique, que l'on peut constater dans le petit calcul suivant.

> S:=add(n*x^n/(1-x^n),n=1..20):

> series(S,x,21);

> series(add(numtheory[sigma](n)*x^n,n=1..20),x,21);

Précisons que les séries de la forme sum(a_n*x^n/(1-x^n),n=1..infinity) sont des séries de Lambert et qu'on peut leur faire jouer en théorie des nombres un rôle similaire à celui des séries de Dirichlet.

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