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Maple V.3 worksheet Maple V.4 worksheet Maple V.5 worksheet

Calcul en Maple V.5 | Calcul en Maple V.3 et V.4 | Justification

Calcul. Nous opérons le changement de variables suggéré.

> Sx:=Int(sin(x^n),x=0..infinity);

> St:=student[changevar](x^n=t,Sx,t);

La quantité à considérer est donc la suivante.

> S:=1/n*Int(sin(t)/t*exp(ln(t)/n),t=0..infinity);

Nous lui appliquons la procédure asympt, ce qui fournit le résultat demandé.

> Order:=4:

> asympt(S,n);

Le procédé de calcul est on ne peut plus simple. Un développement asymptotique de l'intégrande est calculé puis intégré terme à terme.

> da:=asympt(exp(ln(t)/n)/n,n);

> map(int,expand(da*sin(t)/t),t=0..infinity);

Calcul en Maple V.3 et V.4 En Maple V.3 et V.4 le calcul des intégrales

échoue. Il faut donc trouver un moyen indirect de les évaluer. Il est assez naturel de considérer la série génératrice exponentielle

.

En intervertissant le signe somme et le signe d'intégration (La preuve de la correction de cette échange est laissée au lecteur.), nous obtenons la formule

.

Dans le membre droit, nous reconnaissons la transformée de Mellin du sinus. Cette transformée est a priori définie dans la bande verticale constituée des complexes dont la partie réelle est strictement entre -1 et 0. En effet sin(t) est équivalent à t^1 au voisinage de 0, ce qui fournit la borne gauche -1, et O(t^0) au voisinage de l'infini, ce qui fournit la borne droite 0. Cependant la transformée de mellin s'étend au delà de cette bande. On peut la calculer avec Maple V.3 de la manière suivante.

> mellin(sin(t),t,u);

À partir de Maple V.4, un package consacré aux transformations intégrales et nommé inttrans fournit la même fonctionnalité. En Maple V.4 ou V.5, la syntaxe est donc la suivante.

> inttrans[mellin](sin(t),t,u);

Ensuite il suffit de développer la transformée de Mellin au voisinage de zéro pour obtenir les intégrales cherchées (en n'oubliant pas que la transformée donne la série génératrice exponentielle et qu'il faut donc évacuer les factorielles).

> series(",u);

> map(collect,",{Pi,gamma},distributed);

On retrouve bien les valeurs obtenues par intégration en Maple V.5.

On pourrait considérer que l'introduction de la transformation de Mellin est par trop sophistiquée. Elle est en fait assez naturelle. En effet le terme en ln(t)^n fait considérer naturellement les t^u et leurs dérivées successives par rapport à u, c'est-à-dire la série de Taylor de t^u. Cette idée était déjà employée par Euler et Lagrange.

Pour se documenter sur la transformation de Mellin, on peut consulter l'ouvrage de référence [Doetsch37] ou encore [FlGoDu95].

Justification. On peut s'interroger sur la validité du calcul du développement asymptotique. Tout repose sur l'étude du terme de reste dans le développement de l'intégrande. Celui-ci provient du développement en 0 de l'exponentielle. D'après la formule de Taylor le reste au rang k s'écrit

avec ici . Le reste doit ensuite être multiplié par et intégré de 0 à l'infini. Le reste du développement que nous étudions s'écrit donc

avec . Nous allons d'abord considérer

Introduisons la famille de fonctions

Le nombre est compris entre 0 et , qui est strictement plus petit que 1, dès que n dépasse 2.

Au voisinage de 0, toutes les fonctions sont positives et la relation montre qu'elles sont uniformément intégrables disons de 0 à 1. En effet les puissances du logarithme se primitivent sous la forme d'un polynôme en le logarithme fois la variable.

> for k from 0 to 5 do 

    int(ln(t)^(k+1),t)

  od;

Au voisinage de l'infini, le second théorème de la moyenne donne l'égalité

qui prouve, par une simple majoration, que les fonctions de la famille sont uniformément semi-intégrables, en passant par le critère de Cauchy.

On applique alors le théorème de continuité par rapport au paramètre pour les intégrales semi-convergentes. Rappelons en les hypothèses.

• Les fonctions sont uniformément intégrables sur l'intervalle considéré, ici ][ ;
• pour presque tout t, la fonction est continue sur l'espace métrique considéré ici  ;
• il existe une fonction localement intégrable sur ][ qui domine la famille de fonctions, pour tout t dans ]] et tout dans .

Du coup cette fonction est majorée par un nombre et cette majoration fournit l'inégalité

Nous avons donc presque atteint le but fixé, à un détail près : l'intégrale double considérée n'est pas la bonne. Il faut changer l'ordre d'intégration.

Nous reprenons la formule de la moyenne vue ci-dessus. Puisque l'intégrale considérée est convergente nous pouvons faire tendre la borne supérieure vers l'infini, après avoir majoré l'intégrale du sinus par 2. Cela nous donne l'inégalité

que nous récrivons

Nous intégrons ensuite ceci par rapport à u et nous obtenons

Notons qu'il n'y a pas de problème au voisinage de 0, car nous avons affaire à une fonction positive au voisinage de 0 et intégrable sur le rectangle défini par les inégalités , , , . C'est ce qui nous permet d'échanger l'ordre d'intégration dans la première intégrale. Ensuite dans la dernière intégrale, nous employons la majoration

Ceci nous donne la majoration

et il suffit de faire tendre a vers l'infini pour conclure que les deux intégrales doubles sont égales.

Finalement le procédé de calcul est complétement justifié.

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