Philippe.Dumas@inria.fr


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Maple V.5 worksheet

Je n'arrive pas à voir ce que je pourrais faire pour utiliser un système de calcul formel dans cet exercice. Le noyau de Poisson est défini par l'expression suivante.

.

.

Ce pourrait être une occasion d'utiliser Maple avec l'instruction, valable à partir de la version V.5,

> P:=(1-r^2)/(1-2*r*cos(theta)+r^2):

  expandedP:=convert(P,fullparfrac,r);

suivie d'une transformation fastidieuse. Quoi qu'il en soit, si nous voyons l'indéterminée r comme un réel strictement entre 0 et 1, nous pouvons développer la fraction rationnelle en série entière et nous obtenons l'expression suivante du noyau de Poisson

.

Nous devons intégrer l'expression . L'énoncé ne fournit aucune hypothèse sur la fonction f. Une hypothèse raisonnable est que la fonction est intégrable au sens de Riemann entre 0 et 2*PI, par exemple continue. Dans ces conditions le développement en série entière par rapport à r de l'intégrande est normalement convergent (nous supposons toujours que r représente un réel strictement entre 0 et 1) et nous pouvons intégrer terme à terme. Le premier terme n'est que la moyenne de la fonction sur l'intervalle. Pour les autres nous développons le cosinus comme suit

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Du coup en intégrant nous voyons apparaître les coefficients de Fourier a_n et b_n de la fonction 2*Pi-périodique qui coïncide avec f entre 0 et 2*Pi. Finalement nous obtenons la formule

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Cette formule est la base de la méthode de Poisson pour la sommation des séries de Fourier. La méthode consiste à étudier la limite de l'expression précédente quand r tend vers 1 par valeurs inférieures. La formule intervient aussi dans la résolution du problème de Dirichlet pour un disque.

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