Philippe.Dumas@inria.fr


http://algo.inria.fr/dumas/Maple/

Retour en page principale Table des matières Index

Maple V.4 worksheet Maple V.5 worksheet

Nous savons bien que la base des logarithmes népériens est somme de la série de terme général 1/k!. Quand nous effectuons la multiplication de la somme de cette série par n! les termes d'indice k=0 à k=n donnent un entier. Multiplié par 2*Pi, cet entier disparaît dans le sinus. L'expression utile est donc le sinus de 2*Pi fois la somme des 1/(n+1)/(n+2)../(n+k). Si nous tronquons cette somme au rang k=m, le reste est classiquement majoré par n!/((n+m).(n+m)!). Il fournit donc un O(1/n^(m+1)). Le calcul à effectuer est donc le suivant, pour un m donné.

> m:=15;

> da:=asympt(sin(2*Pi*add(1/mul(n+j,j=1..i),i=1..m)+O(1)/n^(m+1)),

                                                          n,m+1);

Tester numériquement cette approximation demande une grande précision de calcul. En effet n! est rapidement très grand et pourtant 2*Pi*e*n! doit être bien déterminé par rapport aux multiples de 2*Pi pour que le sinus soit calculé correctement. En conséquence nous lions la valeur de Digits à la longueur de l'écriture décimale de n!.

> nn:=30;

> Digits:=floor(1.5*length(nn!));

> truevalue:=evalf(sin(2*Pi*exp(1)*nn!));

> approximation:=evalf(eval(subs(O=0,n=nn,da)));

> evalf(truevalue-approximation);

On peut être déçu de la mauvaise qualité de l'approximation. En effet on attendait une erreur de l'ordre de 1/n^m.

> evalf(1/nn^m,3);

Ce n'est pas du tout ce que l'on observe et cela est dû au fait que les coefficients du développement croissent très vite.

> evalf(da,3);

Retour en page principale